母比率の検定（投票・アンケートの過半数ラインの可能性）

※免責：統計の入門書をかじっただけなので、不正確な内容や不十分な説明があります。

統計において、母比率の推定には一般に以下の検定統計量TTについての式が近似的に用いられます。

T=p0−pp(1−p)N\begin{equation} T=\frac{p_0-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}} \end{equation}

ここで、ppは「確かめたい（検定対象の）割合」（母比率）、p0p_0は任意の回答Aの実割合（標本比率）、NNは投票数（サンプル数）です。

確かめたい割合を50%としたとき

さらに、「ある過半数(>50%)の項目の母比率（サンプル数が十分に多いときの割合）が実は50%じゃないか？」と仮定して、この母比率の検定を行うとすると、式(1)はp=0.5p=0.5を代入して、

T=p0−0.50.5⋅(1−0.5)N=p0−0.512⋅12N=p0−0.514N=p0−0.514N=p0−0.514N=p0−0.512N=2N(p0−0.5)\begin{align*} T&=\frac{p_0-0.5}{\sqrt{\frac{0.5\cdot(1-0.5)}{N}}} \\ &=\frac{p_0-0.5}{\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{N}}} \\ &=\frac{p_0-0.5}{\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{N}}} \\ &=\frac{p_0-0.5}{\sqrt{\frac{1}{4N}}} \\ &=\frac{p_0-0.5}{\frac{1}{\sqrt{4N}}} \\ &=\frac{p_0-0.5}{\frac{1}{2\sqrt{N}}} \\ &=2\sqrt{N}(p_0-0.5) \end{align*}

より、p=0.5p=0.5(50%)を母比率と仮定したときの検定統計量は、

T=2N(p0−0.5)～N(0,1)\begin{equation} T=2\sqrt{N}(p_0-0.5)\quad～N(0,1) \end{equation}

であると整理出来ます。（これが標準正規分布N(0,1)N(0,1)に近似的に従います）

過半数超え（割れ）の確率を求める

あとは、標準正規分布の計算をツールサイトや表計算ソフト（NORM.S.DIST(式(2)で求めたTT,TRUE)）で「下側(上側)累積確率」を求めると、「投票の任意の回答Aの割合 p0p0 と投票数NNから、回答Aが50%を上回る（下回る）可能性」を求めることが出来ます（出来るはずです）。

※このとき、p0>0.5p_0>0.5(>50%)のときは「下側累積確率」、p0<0.5p_0<0.5(<50%)のときは「上側累積確率」を使用してください。